En gros c'est un serveur qui centralise toutes tes données sur ton réseau local, pour pouvoir y accéder soit en local, soit à distance.
Ca permet de lire un film sur ta TV connectée (ou via une petite passerelle multimédia à pas cher) en même temps que quelqu'un d'autre sur un PC lise le même film (ou un autre) pendant qu'un troisième personne regarde les photos des dernières vacances sur une tablette connectée au réseau local en wifi, pendant que la famille éloignée regarde des photos contenues dans le NAS via internet, pendant que le NAS télécharge des torrents (légaux, bien sûr!

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Le nas contient également les ghosts (image disques) de sauvegarde/restauration de chaque ordinateur, ce qui permet de tout restaurer en cas de plantage, virus, crash disque, etc. Rien n'est en local sur les ordinateurs du réseau, tout est en réseau, donc rien n'est perdu en cas de crash d'une machine.
Certains NAS permettent également de faire de la surveillance vidéo avec des caméras IP branchées sur le réseau, serveur de musique pour lire ta musique partout dans le monde depuis un navigateur internet ou une appli pour smartphone et tablette, ça fait office de serveur iTunes pour lire tout ton contenu musical sur tous les PC ou Mac de la maison, encore une fois sans avoir de contenu en local sur les machines.
Bref, c'est de la bombe pour pas (trop) cher.
Evidemment, prévoir une sauvegarde du NAS sur un autre support, si possible dans un autre lieu (innondations, incendies...)
Schéma d'utilisation typique ici :
http://www.rueducommerce.fr/image/swfpd ... on_NAS.jpg